题目内容
【题目】如图所示,四棱锥中,
平面
,
,
,
.
(1)在棱上是否存在一点
,使得
平面
?请证明你的结论;
(2)求平面和平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)存在;证明见解析(2)
【解析】
(1)当点为棱
的中点时,
平面
;取
的中点
,连结
、
、
,由已知结合中位线的性质可得
且
,进而可得
,由线面平行的判定即可得证;
(2)由题意建立空间直角坐标系,求出各点坐标,再求出平面的一个法向量为
与平面
的一个法向量为
,利用
即可得解.
(1)当点为棱
的中点时,
平面
.
证明如下:
取的中点
,连结
、
、
,则
且
,
,
,
且
,
四边形
为平行四边形,
,
平面
,
平面
,
平面
.
(2)在平面内过点
作直线
的垂线
,
平面
,
,
,
直线
、
和
两两垂直,
以点为原点,分别以直线
、
和
为
轴、
轴和
轴建立如图所示的空间直角坐标系,过点
作
交直线
于
,
,
,
,
,
,
从而可得,
,
,
,
,
则,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则即
,取
,可得
,
设平面的一个法向量为
,
则即
,取
,可得
,
平面
和平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】设函数,
为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零点均在集合
中,求f(x)的极小值;
(3)若,且f(x)的极大值为M,求证:M≤
.
【题目】交通部门调查在高速公路上的平均车速情况,随机抽查了60名家庭轿车驾驶员,统计其中有40名男性驾驶员,其中平均车速超过的有30人,不超过
的有10人;在其余20名女性驾驶员中,平均车速超过
的有5人,不超过
的有15人.
(1)完成下面的列联表,并据此判断是否有
的把握认为,家庭轿车平均车速超过
与驾驶员的性别有关;
平均车速超过 | 平均车速不超过 | 合计 | |
男性驾驶员 | |||
女性驾驶员 | |||
合计 |
(2)根据这些样本数据来估计总体,随机调查3辆家庭轿车,记这3辆车中,驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为
,假定抽取的结果相互独立,求
的分布列和数学期望.
参考公式:
临界值表:
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |