Question

【题目】已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.

（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.

（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.

（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.

（1）证明：∵椭圆经过点，∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

此时椭圆的离心率.

（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.

当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.

∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由，得，

.

设，，则，.

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴到直线的距离.

综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.