Question

（本小题满分16分）
已知数列满足＝0，＝2，
且对任意m，n∈都有＋＝＋
（1）求，；
（2）设＝－( n∈)，证明：是等差数列；
（3）设＝(－)( q≠0，n∈)，求数列的前n项的和．

Answer 1

解析：（1）由题意，令m＝2，n＝1，可得＝－＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得＝－＋8＝20．
（2）当n∈时，由已知(以n＋2代替m)可得＋＝＋8，于是[－]－(－)＝8，即－＝8．所以是公差为8的等差数列．
（3）由（1）（2）可知是首项＝－＝6，公差为8的等差数列，则＝8n－2，即－＝8n－2．另由已知(令m＝1)可得，＝－．那么
－＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n，于是＝．
当q＝1时，＝2＋4＋6＋…＋2n＝n (n＋1)．
当q≠1时，＝2·＋4·＋6·＋…＋2n·，两边同乘以q，可得＝2·＋4·＋6·＋…＋2n·．上述两式相减，得
＝－2n＝－2n＝，
所以＝．
综上所述，＝

略