题目内容

4.若a是f(x)=sinx-xcosx在x∈(0,2π)的一个零点,则?x∈(0,2π),下列不等式恒成立的是(  )
A.$\frac{sinx}{x}≥\frac{sina}{a}$B.cosa≥$\frac{sinx}{x}$C.$\frac{3π}{2}$≤a≤2πD.a-cosa≥x-cosx

分析 利用导数研究单调性,运用零点的存在性定理判断出a所在的范围,根据f(x)的正负确定g(x)=$\frac{sinx}{x}$的最小值.

解答 解:f′(x)=xsinx,
当x∈(0,π),f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈(π,2π),f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
又f(0)=0,f(π)>0,f(2π)<0,
∴a∈(π,2π),
∴当x∈(0,a),f(x)>0,当x∈(a,2π),f(x)<0,
令g(x)=$\frac{sinx}{x}$,g′(x)=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$,
∴当x∈(0,a),g′(x)<0,函数g(x)单调递减,当x∈(a,2π),g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
∴g(x)≥g(a).
故选:A.

点评 本题主要考查零点的存在性定理,利用导数求最值及计算能力.

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