Question

12．等比数列{a_n}（a_n＞0，n∈N^*）中，公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小．

Answer 1

分析 （1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，得$（{a}_{3}+{a}_{5}）^{2}$=25，可得a₃+a₅=5，又2是a₃与a₅的等比中项，可得a₃•a₅=4，由于公比q∈（0，1），解得q，即可得出．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，可得S_n，作差S_n-b_n，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，得$（{a}_{3}+{a}_{5}）^{2}$=25，
∵a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又2是a₃与a₅的等比中项，∴a₃•a₅=4，
∵公比q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，从而$q=\frac{1}{2}$，
∴a_n=2^5-n．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，
∴S_n=$\frac{9n-{n}^{2}}{2}$，
S_n-b_n=$\frac{9n-{n}^{2}}{2}$-（5-n）=$\frac{-（n-1）（n-10）}{2}$．
∵n≥2，
∴（ⅰ）当n＞10时，S_n＜b_n；
（ⅱ）当n=10时，S_n=b_n；
（ⅲ）当2≤n＜10时，S_n＞b_n．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．