题目内容
【题目】如图,在梯形中,
,
,
,
是
的中点,将
沿
折起得到图(二),点
为棱
上的动点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,二面角
为
,点
为
中点,求二面角
余弦值的平方.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)根据,证得
平面
,从而证得平面
平面
.(2)以
,
,
所在直线为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
,通过计算
和
的法向量,计算出二面角余弦值的平方.
证明:(1)在图(一)梯形中,
∵是
的中点,
,
,
∴,
.
∴四边形为平行四边形.
又∵,∴
,
在图(二)中,∵,
,
平面
,
平面
,
∴平面
,
又∵平面
,∴平面
平面
.
解:(2)由及条件关系,得
,
由(1)的证明可知,
,
∴为二面角
的平面角,
∴,
由(1)的证明易知平面平面
,且交线为
,
∴在平面内过点
作直线
垂直于
,
则平面
,
∴,
,
两两相互垂直,
∴分别以,
,
所在直线为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
∵为
中点,
∴,
,
.
设平面的一个法向量
,
则
,
即,
令,则
,
,
∴,
而平面的一个法向量
,
∴
,
∴.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目