题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点
的坐标为
，点
为椭圆
上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作斜率为
的直线
交椭圆于
，
两点，且
，求
的面积.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据题意，椭圆
的右焦点
的坐标为
，得出
，根据
得出
，再根据点
是椭圆上一点，利用待定系数法即可求出
和
，从而得到椭圆的方程；
（2）根据直线的点斜式方程得出直线
的方程为
，与椭圆方程联立，求得
或
，从而得出
，
，以及弦长
，通过
得出点
的坐标，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离
，即可求得
的面积
.
解：（1）设椭圆的焦距为
，
∵椭圆的右焦点的坐标为，∴，
∴①
∵点是椭圆上一点，
∴
②
由①、②解得：
，
，
∴椭圆的方程为，
（2）由直线过椭圆的右焦点
且斜率为
的直线的方程为：
，而直线交椭圆于
，
两点，
代入，消去
，整理得：
，
解得：
或
，
∴，
，
∴
，
∵，∴
，
即
，
∴点的坐标为(
，
)，
∴点到直线的距离
，
所以的面积
.
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