题目内容
【题目】直线上的动点
到点
的距离是它到点
的距离的3倍.
(1)求点的坐标;
(2)设双曲线的右焦点是
,双曲线经过动点
,且
,求双曲线的方程;
(3)点关于直线
的对称点为
,试问能否找到一条斜率为
(
)的直线
与(2)中的双曲线
交于不同的两点
、
,且满足
,若存在,求出斜率
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由于点在直线
上,所以设点
的坐标为
,然后由
到点
的距离是它到点
的距离的3倍列方程求出
,从而可得点
的坐标;
(2)由可知
,由此可
,再将点
坐标代入双曲线方程中,解方程组可得
;
(3)由可知线段
的中垂线过点
,再利用两直线斜率的关系可得结果.
解:(1)因为点在直线
上,所以设点
的坐标为
,
因为到点
的距离是它到点
的距离的3倍,
所以
所以,
化简得,
解得
所以
所以点的坐为
;
(2)因为,所以
,
所以点的坐标为
,即
因为点在双曲线上,所以
,
由,得
,
所以双曲线方程为
(3)因为点关于直线
的对称点为
,
所以点的坐标为
,
设直线为为
,
,
由得,
,
因为直线与双曲线交于不同的两点,
所以,
化简得,
由根与系数的关系得,
所以,所以线段
的中点为
,
因为,
所以,化简得
,
所以,得
,
解得或
,
又因为,所以解得
的取值范围为
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