题目内容
【题目】已知函数(a,
).
(1)若,且
在
内有且只有一个零点,求a的值;
(2)若,且
有三个不同零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3)若,
,试讨论是否存在
,使得
.
【答案】(1)(2)存在;a的值为
(3)答案不唯一,具体见解析
【解析】
(1),
,讨论
和
两种情况,分别计算函数的单调性,再根据零点个数得到参数.
(2),根据题意
,计算得到
,
,计算得到答案.
(3),
,故必须
在
上有解,解方程得到答案.
(1)若,则
,
,
若,则在
,则
,则
在
上单调递增,
又,故
在
上无零点,舍;
若,令
,得
,
,
,
在上,
,
在上单调递减,
在上,
,
在上单调递增,
故,
若,则
,
在
上无零点,舍;
若,则
,
在
上恰有一零点,此时
;
若,则
,
,
,
则在
和
上有各有一个零点,舍;
故a的值为.
(2)因为,则
,若
有三个不同零点,且成等差数列,可设
,
故,则
,故
,
,
.
此时,,
,故存在三个不同的零点.
故符合题意的a的值为.
(3)若,
,
,
∴若存在,使得
,
必须在
上有解.
,
方程的两根为:,
,
只能是
,
依题意,即
,
即,
又由,得
,故欲使满足题意的
存在,则
,
∴当时,存在唯一的
满足
,
当时,不存在
使
.
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