题目内容
【题目】如图,已知点为抛物线
,点
为焦点,过点
的直线交抛物线于
两点,点
在抛物线上,使得
的重心
在
轴上,直线
交
轴于点
,且
在点
右侧.记
的面积为
.
(1)求的值及抛物线的标准方程;
(2)求的最小值及此时点
的坐标.
【答案】(1)1,;(2)
,
.
【解析】
(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可;
(2)设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,结合韦达定理求得面积的表达式,最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.
(1)由题意可得,则
,抛物线方程为
,准线方程为
.
(2)设,
设直线AB的方程为,与抛物线方程
联立可得:
,故:
,
,
设点C的坐标为,由重心坐标公式可得:
,
,
令可得:
,则
.即
,
由斜率公式可得:,
直线AC的方程为:,
令可得:
,
故,
且,
由于,代入上式可得:
,
由可得
,则
,
则
.
当且仅当,即
,
时等号成立.
此时,
,则点G的坐标为
.
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