题目内容
【题目】已知数列、
、
满足
,
.
(1)若数列是等比数列,试判断数列
是否为等比数列,并说明理由;
(2)若恰好是一个等差数列的前
项和,求证:数列
是等差数列;
(3)若数列是各项均为正数的等比数列,数列
是等差数列,求证:数列
是等差数列.
【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)设等比数列的公比为
,分
和
两种情况讨论,结合等比数列的定义判断即可;
(2)设是公差为
的等差数列
的前
项和,推导出
,由
推导出
,进而可证得结论成立;
(3)利用数列是等差数列结合
推导出
,再结合数列
是等比数列,推导出
,由数列
是等差数列得出
,推导出
,并将
代入化简得
,从而可证明出数列
是等差数列.
(1)设等比数列的公比为
,则
,
当时,
,数列
不是等比数列;
当时,因为
,所以
,所以数列
是等比数列;
(2)因为恰好是一个等差数列的前
项和,设这个等差数列为
,公差为
,
因为,所以
,
两式相减得,
因为,
所以,
所以数列是等差数列;
(3)因为数列是等差数列,所以
,
又因为,所以
,
即 ,则
,
又因为数列是等比数列,所以
,则
,
即,
因为数列各项均为正数,所以
,
则,即
,
又因为数列是等差数列,所以
,
即,化简得
,
将代入得
,化简得
,
所以数列是等差数列.
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