Question

已知函数 ．
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a ²-3)上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

Answer 1

（1）                 （2）
（3）先结合导数分析证明函数f(x)在(0，2)内单调递减．那么得到结论。

试题分析：．解：（Ⅰ），     1分
，                     2分
因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行
所以，                  3分
所以．                            4分
（Ⅱ）令，      5分
即，所以 或．                       6分
因为a>0，所以不在区间(a，a²-3)内，
要使函数在区间(a，a ²-3)上存在极值，只需．             7分
所以．                                              9分
（Ⅲ）证明：令，所以 或．
因为a>2，所以2a>4，                                              10分
所以在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．
又因为，，                    11分
所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点．                                12分
点评：主要考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。