Question

8．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ，n∈N^*，a₁=1，b_n=$\frac{a_n}{2^n}$
（1）证明数列{b_n}为等差数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ，n∈N^*，a₁=1，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式可得a_n=n•2^n-1．可得b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{1}{2}n$，利用等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=n•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ，n∈N^*，a₁=1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=n•2^n-1．
∴b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{1}{2}n$，b₁=$\frac{1}{2}$．
∴当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}为等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：a_n=n•2^n-1．
S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
2S_n=2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．