题目内容

18.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A,B两点,且线段AB的中点在直线y=x上.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点的横坐标为x0=$\frac{6}{5}$,求椭圆的方程.

分析 (Ⅰ)联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$,得到线段AB的中点,设y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法能求出椭圆的离心率;
(Ⅱ)求出椭圆的右焦点坐标,再由点关于直线对称的求法,运用中点坐标公式和直线垂直的条件,即可得到b=2,进而得到a,即可得到椭圆方程.

解答 解:(Ⅰ)联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$,得x=$\frac{2}{3}$,y=$\frac{1}{3}$,
∴直线y=-x+1与x-2y=0的交点为M($\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
∴线段AB的中点为($\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
设y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=$\frac{4}{3}$,y1+y2=$\frac{2}{3}$,
分别把A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,得:
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
两式相减,得$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})({x}_{1}+{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}-{y}_{2})({y}_{1}+{y}_{2})}{{b}^{2}}$=0,
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-1,
即有a2=2b2=2(a2-c2),∴a=$\sqrt{2}$c,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知b=c,则椭圆的右焦点F(b,0),
设F关于直线y=$\frac{1}{2}$x对称点为($\frac{6}{5}$,y0),
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}-0=-2(\frac{6}{5}-b)}\\{\frac{{y}_{0}+0}{2}=\frac{1}{4}(\frac{6}{5}+b)}\end{array}\right.$,解得b=2,a=$\sqrt{2}$b=2$\sqrt{2}$.
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1,

点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法,以及方程的运用,同时考查点差法和点关于直线对称的求法,属于中档题.

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