Question

6．在四边形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=CD=DA=1，△ABD和△BCD的面积分别为m，n．
（1）若tanA=$\sqrt{2}$，求角C的大小；
（2）求m²+n²的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据tanA的值，求得cosA的值，进而利用余弦定理求得BD，确定三边的关系，利用勾股定理判断出C为直角．
（2）利用BD和余弦定理求得cosA和cosC的关系式，进而利用三角形面积公式分别表示出m和n，进而表示出m²+n²，转化为关于cosA的一元二次函数确定函数的最大值．

解答 解：（1）∵tanA=$\sqrt{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cosA=1+3-2×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∴CD²+BC²=BD²，
∴C=$\frac{π}{2}$．
（2）∵m=$\frac{1}{2}$•AB•AD•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，n=$\frac{1}{2}$•CD•BC•sinC=$\frac{1}{2}$sinC，
∵BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cosA=4-2$\sqrt{3}$cosA，
BD²=CD²+BC²-2CD•BC•cosC=2-2cosC，
∴4-2$\sqrt{3}$cosA=2-2cosC，
cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，
m²+n²=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²C=$\frac{3}{4}$（1-cos²A）+$\frac{1}{4}$（1-cos²C）=1-$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$cos²C=1-$\frac{3}{4}$cosA-$\frac{1}{4}$（$\sqrt{3}$cosA-1）²=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$
∴当cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，m²+n²取最大值$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用．第二步解题关键是利用BD作为桥梁，把两个三角形的等量关系建立联系．