Question

15．已知函数f（x）=msinx+3cosx（m∈R），若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为x₁=$\frac{π}{12}$，x₂=$\frac{7π}{12}$，则函数f（x）的最大值是6．

Answer 1

分析 根据函数图象与y=n相邻的两交点的横坐标的值列出关系式，表示出m，利用和差化积公式化简后，再利用特殊角的三角函数值变形，求出m的值，确定出函数f（x）的解析式，从而求得它的最大值．

解答 解：根据题意得：msin$\frac{π}{12}$+3cos$\frac{π}{12}$=msin$\frac{7π}{12}$+3cos$\frac{7π}{12}$=n，
变形得：m=$\frac{3（cos\frac{7π}{12}-cos\frac{π}{12}）}{sin\frac{π}{12}-sin\frac{7π}{12}}$=$\frac{-6sin\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}}{-2cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}}$=3$\sqrt{3}$，
∴f（x）=3$\sqrt{3}$sinx+3cosx=6sin（x+$\frac{π}{6}$）．
故f（x）的最大值为6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最大值，属于中档题．