Question

设数列的前项和为，若对任意，都有.
⑴求数列的首项；
⑵求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
⑶数列满足，问是否存在，使得恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

⑴；⑵ ；⑶。

试题分析：⑴∵ ∴             3分
⑵∵   ∴    (≥2)
∴                          5分
∴
∴(为常数) (≥2)
∴数列是以为公比的等比数列                      7分
∴                                     10分
⑶∵      ∴
∴                  12分
                 14分
∴当≥3时，＜1； 当=2时，＞1
∴当2时，有最大值 
∴                                      15分
∴                                          16分
点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答根据的关系确定通项公式，认识到数列的特征。对于存在性问题，往往先假设存在，本题通过考察 的单调性，利用“放缩法”，证明假设的合理性。