Question

【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－1.其中>0且≠1.

(1)求f(2)＋f(－2)的值；

(2)求f(x)的解析式；

(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由函数是奇函数，即可求得的值；

（2）设，则，求得，根据函数是奇函数，即可化简求得函数的解析式；

（3）分类讨论，得出不等式组，利用对数函数的性质，即可求解.

(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.

(2)当x<0时，－x>0，

∴f(－x)＝a－x－1.

由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，

∵f(－x)＝a－x－1，

∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．

∴所求的解析式为f(x)＝ .

(3)不等式等价于 或，

即或.

当a>1时，有 或，

注意此时loga2>0，loga5>0，可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．

同理可得，当0<a<1时，不等式的解集为R.

综上所述，当a>1时，不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；

当0<a<1时，不等式的解集为 .