Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线y=kx+b与抛物线C交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且|y1﹣y2|=2，过弦AB中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点

到焦点的距离为5，

∴4+ =5，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x

（2）解：联立直线y=kx+b与抛物线C得：k2x2+2（kb﹣2）x+b2=0（k≠0），

x1+x2= ，x1x2= ．

|y1﹣y2|=k|x1﹣x2|= =2，

∴4﹣4kb=k2，

∵M（ ， ），D（ ， ），

∴△ABD的面积S= |MD||y1﹣y2|= = ．

【解析】（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5，可得p，即可求抛物线C的方程；（2）把直线的方程与抛物线方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用三角形的面积公式即可得出．