题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间
上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ).
令,得
.
与
的情况如上:
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(Ⅱ)当,即
时,函数
在
上单调递增,
所以在区间
上的最小值为
.
当,即
时,
由(Ⅰ)知在
上单调递减,在
上单调递增,
所以在区间
上的最小值为
.
当,即
时,函数
在
上单调递减,
所以在区间
上的最小值为
.
综上,当时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点
为抛物线
上一点.
(1)求的方程;
(2)若点在
上,过
作
的两弦
与
,若
,求证: 直线
过定点.
【答案】(1)或
;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)当焦点在轴时,设
的方程为
,当焦点在
轴时,设
的方程为
,分别代入点
,求得
的值,即可得到抛物线的方程;(2)因为点
在
上,所以曲线
的方程为
,设点
,用直线与曲线方程联立,利用韦达定理整理得到
,即可得到
,判定直线过定点.
试题解析:(1)当焦点在轴时,设
的方程为
,代人点
得
,即
.当焦点在
轴时,设
的方程为
,代人点
得
,即
,
综上可知: 的方程为
或
.
(2)因为点在
上,所以曲线
的方程为
.
设点,
直线,显然
存在,联立方程有:
.
,
即即
.
直线即
直线
过定点
.
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