题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0).
(1)若f(1)=0,且对任意x∈R,都有f(2﹣x)=f(2+x),求f(x)的解析式;
(2)已知x1 , x2为函数f(x)的两个零点,且x2﹣x1=2,当x∈(x1 , x2)时,g(x)=﹣f(x)+2(x2﹣x)的最大值为,当a≥2时,求h(a)的最小值.
【答案】
(1)解:由f(2﹣x)=f(2+x),得函数f(x)关于x=2对称,则﹣ =2,
又a+b﹣1+1=0,
解得a= ,b=﹣
,
∴f(x)= x2﹣
x+1
(2)解:设f(x)=a(x﹣x1)(x﹣x2),
g(x)=﹣a(x﹣x1)(x﹣x2)+2(x2﹣x)=﹣a(x﹣x2)(x﹣x1+ )=a(x2﹣x)(x﹣x1+
);
∵x∈(x1,x2),a≥2;
∴x2﹣x>0,x﹣x1+ >0;
∵ ﹣
﹣x2═
﹣
=
﹣
=1﹣
<0,
∴ ﹣
<x2,
﹣
﹣x1=
﹣
=1﹣
>1﹣
=
>0,
∴ ﹣
>x1,
∴x= ﹣
∈(x1,x2).
∴g(x)≤a( )2=a+
+2,
当x= ﹣
=
时取“=”;
∴h(a)=a+ +2,a≥2;
a≥2时,h′(x)=1﹣ >0;
∴h(a)在[2,+∞)上单调递增;
∴h(2)= 是h(a)的最小值
【解析】(1)由f(2﹣x)=f(2+x)得函数的对称轴为x=2,结合一元二次函数的对称性进行求解即可,求f(x);(2)求出g(x)=a(x2﹣x)(x﹣x1+ ),根据基本不等式求出g(x)≤a+
+2,利用函数的单调性求出答案.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目