Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，若直线的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为， 的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线（直线的斜率不为1）与椭圆交于两点，点在点的上方，若，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由的周长为，可得，由直线的斜率为可得，

由直线的斜率，得，结合求出从而可得椭圆的标准方程；（2）先求出，由可得，直线的方程为，则，联立，所以，根据韦达定理列出关于的方程求解即可.

试题解析：（1）因为的周长为，所以，即，

由直线的斜率，得，

因为，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意可得直线方程为，联立得 ，解得，所以， 因为，即，

所以，当直线的斜率为时，不符合题意，

故设直线的方程为，由点在点的上方，则，联立，所以，所以，消去得 ，所以，得，

又由画图可知不符合题意，所以，

故直线的斜率为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.