题目内容
已知函数f（x）=ax-21nx，a∈R
（Ⅰ）a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）单调区间
（Ⅲ）设g(x)=
(a＞0)，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）单调区间
（Ⅲ）设g(x)=
| a+2e |
| x |
（I）f′(x)=1-
，x＞0．令f'（x）=0，得x=2
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2-2ln2．
（Ⅱ）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；a＞0时，f（x）在（0，
）上是减函数，
在（
，+∞）上是增函数．
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-
，
F'（x）=a-
+
=
=
＞0，
所以F（x）为增函数，F（x）max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞
．所以a的取值范围是(
，+∞)．
| 2 |
| x |
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
| x | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
（Ⅱ）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；a＞0时，f（x）在（0，
| 2 |
| a |
在（
| 2 |
| a |
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-
| a+2e |
| x |
F'（x）=a-
| 2 |
| x |
| a+2e |
| x2 |
| ax2-2x+a+2e |
| x2 |
| ax2+a+2(e-x) |
| x2 |
所以F（x）为增函数，F（x）max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞
| 4e |
| e2-1 |
| 4e |
| e2-1 |
练习册系列答案
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，
，
处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
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