Question

如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°.
（Ⅰ）求二面角M－AC－B大小的正切值；
（Ⅱ）求三棱锥P－MAC的体积.

Answer 1

（1）（2）

方法一：（Ⅰ）取BC的中点N，连结MN.
由已知，PMCN，则MNPC，所以MN⊥平面ABC.                           
过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，
由三垂线定理知，AC⊥MH.
所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.                                     
连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得.
由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                        
在Rt△CHN中，.                                      
在Rt△MNH中，.
故二面角M－AC－B的正切值是.                                         
（Ⅱ）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则
.         
方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，
按如图所示建立空间直角坐标系.                                     
设点，由已知可得，点，
，则.
因为直线AM与直线PC所成的角为60°，则
，即.
解得z₀＝1，从而.                             
设平面MAC的一个法向量为n，则，即.
取，则n.                                                
又m＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为θ，则.
从而，.                                            
显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的正切值是.  
（Ⅱ）因为a＝(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，，则
点A到平面PCM的距离.                                     
又PC＝PM＝1，则.