Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA₁上一点，且AC₁⊥EG.
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面EFG所成角θ的大小.

Answer 1

（Ⅰ）中点（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），

设G（0，2，h），则
∴－1×0+1×（－2）+2h="0. " ∴h=1，即G是AA₁的中点. 
（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则
所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵
∴，即AC₁与平面EFG所成角为 
解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.

又CC₁⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC₁⊥ED.
∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁.
又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG.
连结A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C//DG.
∵D是AC的中点，∴G是AA_­1的中点.
（Ⅱ）取CC₁的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，
∴E、F、M、G共面.作C₁H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，
C₁H平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC//GM，∴GM⊥C₁H. ∵GM∩FM=M，
∴C₁H⊥平面EFG，设AC₁与MG相交于N点，所以∠C₁NH为直线AC₁与平面EFG所成角θ.
因为