Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，三边a，b，c成等差数列，且B=$\frac{π}{6}$，则|cos A-cos C|的值为$\sqrt{1+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，由B的度数求出A+C的度数，把2b=a+c利用正弦定理化简，求出sinA+sinC的值，设cosA-cosC=x，两式结合求出x²，开方即可求出所求式子的值．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，且B=$\frac{π}{6}$，
∴2b=a+c，A+C=$\frac{5π}{6}$，
将2b=a+c利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=1，
设cosA-cosC=x，
可得（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=1+x²，
即sin²A+2sinAsinC+sin²C+cos²A-2cosAcosC+cos²C=2-2cos（A+C）=2+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2+$\sqrt{3}$=1+x²，
∴（cosA-cosC）²=x²=1+$\sqrt{3}$，
则cosA-cosC=$\sqrt{1+\sqrt{3}}$．
故答案为：$\sqrt{1+\sqrt{3}}$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，等差数列的性质，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及运算法则是解本题的关键．