题目内容

18.设二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)
(1)当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(2)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得|f(k)|≤$\frac{1}{4}$.

分析 (1)求出二次函数的对称轴方程,讨论对称轴和区间[-1,1]的关系,运用函数的单调性即可得到最小值;
(2)设m<x1<x2<m+1,m为整数.分类讨论k的存在性,综合讨论结果,可得答案.

解答 解:(1)当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时,f(x)=(x+$\frac{a}{2}$)2+1,对称轴为x=-$\frac{a}{2}$,
当a≤-2时,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2;
当-2<a≤2时,即有-1≤-$\frac{a}{2}$<1,则g(a)=f(-$\frac{a}{2}$)=1;
当a>2时,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2.
综上可得,g(a)=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}^{2}}{4}+a+2,a≤2\\ 1,-2<a≤2\\ \frac{{a}^{2}}{4}-a+2,a>2\end{array}\right.$…(6分)
(2)设m<x1<x2<m+1,m为整数.
则△=a2-4b>0,即b<$\frac{{a}^{2}}{4}$,
①当-$\frac{a}{2}$∈(m,m+$\frac{1}{2}$],即-1≤a+2m<0时,
f(m)=m2+am+b<m2+am+$\frac{{a}^{2}}{4}$=(m+$\frac{a}{2}$)2≤$\frac{1}{4}$;
②当-$\frac{a}{2}$∈(m+$\frac{1}{2}$,m+1),即-2<a+2m<-1时,
f(m+1)=(m+1)2+a(m+1)+b<(m+2)2+a(m+1)+$\frac{{a}^{2}}{4}$=(m+1+$\frac{a}{2}$)2≤$\frac{1}{4}$;
综上,存在整数k,使得|f(k)|≤$\frac{1}{4}$.…(12分)

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,分类讨论思想,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网