题目内容
【题目】如图(1),在矩形中,已知
分别为
和
的中点,对角线
与
交于
点,沿
把矩形
折起,使两个半平面所成二面角为60°,如图(2).
(1)求证:;
(2)求与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)依题意可知,利用勾股定理分别求出
,再利用勾股定理证明三角形
是直角三角形,所以
;(2)过
作
,连接
,易证得
为
与平面
所成的角,由此求得
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:
(1)证明 :翻折前,由于是矩形
的边
和
的中点,所以
,折叠后垂直关系不变,所以
是两个半平面所成二面角的平面角,所以
.
连接,由
,可知
是正三角形,所以
,
在中,
,所以
,由题可知
,由勾股定理可知三角形
是直角三角形,所以
.
(2)设分别是
的中点,连接
,又
,所以
,则
,
又,所以
平面
.
又,所以
,又
,所以
平面
.又
平面
,所以平面
平面
.
过作
,由面面垂直的性质定理,可得
平面
,连接
,则
是
在平面
的投影,所以
为
与平面
所成的角.
又是
斜边上的高,所以
,又
,所以
.
故与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某超市随机选取位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
√ | × | √ | √ | |
× | √ | × | √ | |
√ | √ | √ | × | |
√ | × | √ | × | |
85 | √ | × | × | × |
× | √ | × | × |
(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率;
(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?