Question

7．在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点M的坐标为（3，2），若点N（x，y）的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{2x+y≥6}\end{array}\right.$，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最值．

Answer 1

分析 化简可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y，从而转化为线性规划问题求最值即可．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{OM}$=（3，2），$\overrightarrow{ON}$=（x，y）；
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y=z，
作平面区域如下，
，
3x+2y=z可化为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{2}$；
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=6-2x}\\{x=2-y}\end{array}\right.$解得，
x=4，y=-2；
故结合图象可知，
在x=4，y=-2时，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y有最小值3×4+2×（-2）=8；
没有最大值．

点评 本题考查了平面向量的数量积的应用及简单线性规划的问题，注意$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y看成目标函数即可．