Question

19．设圆C：x²+y²-（2a²-4）x-4a²y+5a⁴-4=0．
（1）求实数a的范围以及圆心C的轨迹方程：
（2）若a=-1，过点P（0，-3）向圆C作切线PA、PB，切点为A，B，求四边形PACB的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件，圆的方程化为标准方程，利用半径大于0，可得实数a的范围；求得圆心为C（a²-2，2a²），可得圆心C的轨迹方程：
（2）求出PB，即可求出四边形PACB的面积．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-（2a²-4）x-4a²y+5a⁴-4=0，即：（x-a²+2）²+（y-2a²）² =8-4a²，
故8-4a²＞0，∴-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$；
圆心C（a²-2，2a²），故圆心在直线2x-y+4=0（x＜0）．
（2）a=-1，圆C：（x-1）²+（y-2）² =4，
PC=$\sqrt{{1}^{2}+（2+3）^{2}}$=$\sqrt{26}$，∴PB=$\sqrt{26-4}$=$\sqrt{22}$，
∴四边形PACB的面积S=2×$\frac{1}{2}×\sqrt{22}×2$=2$\sqrt{22}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．