题目内容
【题目】如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD；
(3)求三棱锥C－BGF的体积．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
(1)证明 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，
又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.
(2)证明 由题意可得G是AC的中点，连结FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.
而BC＝BE，∴F是EC的中点，
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD.
(3)∵AE∥FG.
而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCF.
∵G是AC中点，F是CE中点，
∴FG∥AE且FG＝
AE＝1.
∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝
，
∴S△CFB＝××＝1.
∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝
.
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