题目内容
【题目】若、
、
均为正整数,且
,
为一素数,
、
、
的
进制表示分别为
,其中,
.证明:
(1)若,且对整数
均有
,则
,其中,
表示不超过实数
的最大整数.
(2)
,其中,
表示集合A中元素的个数.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)注意到,.
于是,.
则.
故.
(1)若,且
,则记
.
以,
为例,易得
.
一般地,关于不难得出公式:
.
由(1)得.
令.则
.
先介绍两个引理.
引理1 ,其中,
.
引理1的证明 事实上,由,
知.
引理2 若存在整数,有
,
而,则存在整数
,有
引理2的证明 由,即
.
又由,得
.
于是,.
因为,所以,
.
故.
从而,.
若,则
,即
.
若,则
.
由,
知.
于是,.
所以,,即
.
否则,
由于,从而,一定存在整数
使得
,即
.
回到原题.
相对于的
进制表示,称
中的一段
是长度为
的一个“下移端”,记为
.
显然,.
从而,,即为引理2的条件.
因此,当时,若
,则
,存在另一个下移段.
由上述讨论,知若中有
个
,则
中存在
个下移段
.
当时,显然,
,且
.
当时,
,仍有
.
上述两种情形均有.
由引理1及(1)知.
对任意的,当
时,由引理1知
.
综上,即得
.
令.则
.
故
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某小学为了解本校某年级女生的身高情况,从本校该年级的女学生中随机选出100名并统计她们的身高(单位:cm),得到的频数分布表如下:
分组 | ||||
频数 | 20 | 20 | 50 | 10 |
(1)用分层抽样的方法从身高在和
的女生中共抽取6人,则身高在
内的女生应抽取几人?
(2)在(1)中抽取的6人中,再随机抽取2人,求这2人身高都在内的概率.
【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m | 不超过m | 总计 | |
第一种生产方式 | |||
第二种生产方式 | |||
总计 |
(2)根据(1)中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |