题目内容

【题目】数列满足， .

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，数列的前项和为，对任意的， ， 恒成立，求正数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】试题分析：（1）根据等差数列的定义即可证明：数列是等差数列；

（2）利用错位相减法即可求数列{bn}的前n项和，利用作差法可得数列{}单调递增， ， 恒成立，只需即可.

试题解析：

解（1）证明：由已知可得＝，

即＝＋1，即－＝1.

∴数列是公差为1的等差数列．

（2）由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，

∴an＝.

所以bn＝，

Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋＋…＋.

两式相减得

Tn＝＋2－，

Tn＝＋2×－，

Tn＝1＋4－＝3－，

由Tn－Tn－1＝3－－＝，

当n≥2时，Tn－Tn－1>0，所以数列{Tn}单调递增．

最小为，

依题意上恒成立，

设

则

又解得

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