题目内容
【题目】已知函数,
(
、
为常数).
(Ⅰ)求函数在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当函数在
处取得极值
,求函数
的解析式;
(Ⅲ)当时,设
,若函数
在定义域上存在单调减区间,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得,再利用点斜式求切线方程,(2)由极值定义得
解方程组得
,
.最后需验证极值条件.(3)由题意得存在
使
,即存在
使
,利用变量分离得
的最小值,即
.
试题解析:(Ⅰ)由 (
),可得
(
),
∴在点
处的切线方程是
,即
,所求切线方程为
.
(Ⅱ)∵又可得
,且
在
处取得极值
.
∴可得
解得
,
.
所求(
).
(Ⅲ)∵,
(
).
依题存在使
,∴即存在
使
,
不等式等价于
(*)
令(
),∵
.
∴在
上递减,在
上递增,故
,
∵存在,不等式(*)成立,∴
.所求
.
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