题目内容

如图,椭圆Γ的中心在坐标原点O,过右焦点F(1,0)且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点,NP=NQ,求直线l的方程.
(1)设椭圆Γ的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
∵过右焦点F(1,0)且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3.
c=1
2b2
a
=3
a2=b2+c2
解得a=2,b=
3
,c=1.
∴椭圆Γ的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)连接ON,由椭圆的对称性OP=OQ,
∵NP=NQ,∴ON⊥PQ,
b2
a
=
3
2
,∴N(1,-
3
2
)

kON=-
3
2
kl=-
1
kON
=
2
3

∴直线l的方程为y=
2
3
x
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