题目内容
【题目】首项为正数的数列{an}满足an+1=(a+3),n∈N*.
(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;
(2)若对一切n∈N*都有an+1>an , 求a1的取值范围.
【答案】
(1)
【解答】
证明:已知a1是奇数,假设ak=2m-1是奇数,其中m为正整数,则由递推关系得 是奇数.
根据数学归纳法,对任意n∈N*,an都是奇数
(2)
【解答】
由an+1-an=(an-1)(an-3)知
当且仅当an<1或an>3时,an+1>an,
另一方面,若0<ak<1,
则0<ak+1<=1;
若ak>3,则ak+1>.
根据数学归纳法可知,
综上所述,对一切n∈N*,都有an+1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.
【解析】一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数学归纳法的步骤的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握
- 步骤:A.命题在n=1(或
)时成立,这是递推的基础;B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
,且
)结论都成立
.
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【题目】某学校制定学校发展规划时,对现有教师进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如表:
学历 | 35岁以下 | 35至50岁 | 50岁以上 |
本科 | 80 | 30 | 20 |
研究生 | x | 20 | y |
(Ⅰ)用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有l人的学历为研究生的概率;
(Ⅱ)在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取l人,此人的年龄为50岁以上的概率为 ,求x、y的值.