Question

（本小题满分8分）
已知函数f（x）=|x+1|+ax，(a∈R)
（1）若a=1，画出此时函数的图象.

x

（2）若a>1，试判断函数f（x）在R上是否具有单调性.

Answer 1

（1）f（x）=|x+1|+x= 

（2）f（x）=
当a＞1时，f（x）在[-1，+∞）单调递增，且f（x）≥f（-1）=-a，f（x）在（-∞，-1）单调递增，且f（x）＜f（-1）=-a，因此f（x）在R上单调递增.

(1)根据零点分段法讨论去绝对值转化为分段函数.
（2）因为a>1,可知f（x）在[-1，+∞）和（-∞，-1）都是单调递增，确定在R上是否单调递增，关键是判断时，f（x）≥f（-1）=-a；x>-1时，f（x）＜f（-1）=-a.
（1）f（x）=|x+1|+x=……………………………………2分

…………………………4分
（2）f（x）=……………………………………6分
当a＞1时，f（x）在[-1，+∞）单调递增，且f（x）≥f（-1）=-a，f（x）在（-∞，-1）单调递增，且f（x）＜f（-1）=-a，因此f（x）在R上单调递增.…………………………8分