Question

过抛物线y²=4x的焦点作直线AB交抛物线于A、B，求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y12=4x1，y22=4x2，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴(y1+y2)•

y1-y2

x1-x2

=4，x₁≠x₂，
设AB中点M（x，y），
则y₁+y₂=2y，
∵直线AB过抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
∴

y1-y2

x1-x2

=

y-0

x-1

，
∴2y•

y

x-1

=4，整理，得y²=2（x-1），
当x₁=x₂时，M（1，0）满足上式，
∴AB中点M的轨迹方程为y²=2（x-1）．