Question

18．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称，f（4）=4，求f（2014）．

Answer 1

分析 由f（x+6）+f（x）=2f（3），可得函数的周期为12，由y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数为奇函数，由此可求结论．

解答 解：由f（x+6）+f（x）=2f（3）…①，
令x=-3，得f（3）=f（-3），于是f（3）=f（-3）=0，
用x+6替换x得：则f（x+12）+f（x+6）=2f（3）…②，
两式相减，得f（x+12）=f（x），
即函数的周期为12，
由y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x-1）+f（1-x）=0，故f（x）是奇函数．
∵f（4）=4，
令x=-2，则f（4）+f（-2）=0，
于是f（2014）=f（2014-12×167）=f（10）=f（-2）=-4

点评 本题考查函数的周期性与奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．