Question

9．已知函数f（x）=2^x-1．
（1）求f（log₂3）的值；
（2）求函数y=f（|x|）的值域；
（3）作出函数y=|f（x）|的大致图象，根据图象，若方程|f（x）|=b有两个实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数恒等式，求f（log₂3）的值；
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，f（x）=2^x-1的值域是（-1，+∞），可得函数y=f（|x|）的值域；
（3）利用图象的变换，可得函数y=|f（x）|的大致图象，根据图象，方程|f（x）|=b有两个实根，即可求出实数b的取值范围．

解答 解：（1）f（log₂3）=${2}^{lo{g}_{2}3}$-1=3-1=2；
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，f（x）=2^x-1的值域是（-1，+∞），∴函数y=f（|x|）的值域是（-1，+∞）；
（3）函数y=|f（x）|的大致图象，如图所示，

根据图象，若方程|f（x）|=b有两个实根，实数b的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查对数函数，考查图象的变换，考查数形结合的数学思想，属于中档题．