Question

3．已知f（x）=$\sqrt{x+8-\frac{a}{x}}$在（1，+∞）上单调递增，求实数a的范围．

Answer 1

分析 令t=x+8-$\frac{a}{x}$（t≥0），则f（x）=$\sqrt{t}$在[0，+∞）递增，即有t在（1，+∞）上单调递增，运用导数的符号，由恒成立思想可得a的范围，同时注意当x=1时，t≥0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：令t=x+8-$\frac{a}{x}$（t≥0），
则f（x）=$\sqrt{t}$在[0，+∞）递增，
即有t在（1，+∞）上单调递增，
即t′=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即有a≥-x²，由-x²＜-1．
则a≥-1①
又1+8-a≥0，解得a≤9②
由①②解得-1≤a≤9．
故a的范围是[-1，9]．

点评 本题考查复合函数的单调性的判断，注意转化为函数的导数的正负，运用恒成立思想，易忽视定义域，属于中档题和易错题．