Question

8．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在$[1，\;\sqrt{3}]$上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$．
其中真命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x∈[1，3）}\\{2，x=3}\end{array}\right.$，即可判断出正误；
②不正确，反例：取函数f（x）=-x，在[1，3]上具有性质P；即可判断出f（x²）=-x²，在$[1，\;\sqrt{3}]$上不具有性质P；
③?x∈[1，3]，1=f（2）=$f（\frac{x+（4-x）}{2}）$≤$\frac{1}{2}[f（x）+f（4-x）]$．可得$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=1}\end{array}\right.$，即可得出．
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$∈[1，3]，可得$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$≤$\frac{1}{2}（f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}））$，$f（\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}）$$≤\frac{1}{2}[f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}）]$．即可得出：$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$，进而判断出正误．

解答 解：设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①不正确，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x∈[1，3）}\\{2，x=3}\end{array}\right.$，在[1，3]上满足性质P，但是f（x）在[1，3]上的图象不是连续不断的；
②不正确，反例：取函数f（x）=-x，在[1，3]上具有性质P；而f（x²）=-x²，在$[1，\;\sqrt{3}]$上不具有性质P；
③?x∈[1，3]，1=f（2）=$f（\frac{x+（4-x）}{2}）$≤$\frac{1}{2}[f（x）+f（4-x）]$．∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=1}\end{array}\right.$，∴f（x）=f（4-x）=1，因此正确．
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$∈[1，3]，∴$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$≤$\frac{1}{2}（f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}））$，$f（\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}）$$≤\frac{1}{2}[f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}）]$．∴$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$，正确．
其中真命题的序号是③④．
故选：D．

点评 本题考查了“凹函数”的性质及其应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．