观察下列等式:①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$,②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=$\frac{3}{4}$．由上面两题的结构规律.你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．观察下列等式：
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$；
②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=$\frac{3}{4}$．
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．

分析由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为$\frac{3}{4}$．猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，sin²α+cos²β+sinαcosβ=$\frac{3}{4}$．

解答解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为$\frac{3}{4}$．
猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，
sin²α+cos²β+sinαcosβ=$\frac{3}{4}$，
也可直接写成sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．-------（4分）
下面进行证明：
左边=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（2α+60°）}{2}$+sinαcos（α+30°）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos2αcos60°-sin2αsin60°}{2}$+sinα（cosα•cos30°-sinαsin30°）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α-$\frac{1-cos2α}{4}$
=$\frac{3}{4}$=右边．
故sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．-----------（14分）

点评本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，着重考查了类比的能力．

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8．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在$[1，\;\sqrt{3}]$上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$．
其中真命题的序号是（　　）

5．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，$M=\{\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{{{10}^2}}}+\frac{a_3}{{{{10}^3}}}+\frac{a_4}{{{{10}^4}}}|{a_i}∈T，i=1，2，3，4\}$，将M中的元素按从大到小排列，则第2012个数是（　　）

	A．	$\frac{5}{10}+\frac{5}{{{{10}^2}}}+\frac{7}{{{{10}^3}}}+\frac{3}{{{{10}^4}}}$		B．	$\frac{5}{10}+\frac{5}{{{{10}^2}}}+\frac{7}{{{{10}^3}}}+\frac{2}{{{{10}^4}}}$
	C．	$\frac{7}{10}+\frac{9}{{{{10}^2}}}+\frac{8}{{{{10}^3}}}+\frac{8}{{{{10}^4}}}$		D．	$\frac{7}{10}+\frac{9}{{{{10}^2}}}+\frac{9}{{{{10}^3}}}+\frac{1}{{{{10}^4}}}$

12．设数列{a_n}的前n项和S由如下程序框图给出，若输入n的值为100，求输出的S．