Question

9．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{|x-3|-1，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，则函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$的所有零点之和为$\root{3}{2}$-1．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式结合函数奇偶性的性质求出函数的解析式，作出函数f（x）的图象，解方程即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴若x∈（-1，0]，则-x∈[0，1），
则f（-x）=log₂（-x+1）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x+1），x∈（-1，0]，
若x∈（-∞，-1]，则-x∈[1，+∞），
则f（-x）=|-x-3|-1=|x+3|-1=-f（x），
即f（x）=1-|x+3|，x∈（-∞，-1]，
作出f（x）的图象如图：
由g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$=0得f（x）=$\frac{1}{3}$，
由图象知，当x∈[0，1）时，由log₂（x+1）=$\frac{1}{3}$得x+1=${2}^{\frac{1}{3}}=\root{3}{2}$，即x=$\root{3}{2}$-1，
当x∈[1，+∞）时，由|x-3|-1=$\frac{1}{3}$得|x-3|=$\frac{4}{3}$，即x=$\frac{13}{3}$或$\frac{5}{3}$，
当x∈（-∞，-1]时，由1-|x+3|=$\frac{1}{3}$得|x+3|=$\frac{2}{3}$，即x=-$\frac{11}{3}$或-$\frac{7}{3}$，
故所有的零点之和为$\frac{13}{3}$+$\frac{5}{3}$-$\frac{11}{3}$-$\frac{7}{3}$+$\root{3}{2}$-1=$\root{3}{2}$-1，
故答案为：$\root{3}{2}$-1

点评 本题主要考查函数零点和方程之间的关系，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意利用数形结合．