题目内容
13．证明函数f（x）=loga$\frac{{a}^{x}+1}{2}$（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．分析 直接利用函数单调性的定义，结合指数函数和对数函数的单调性证明．
解答 证明：设x1，x2为[0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{2}-log\frac{{a}^{{x}_{2}}+1}{2}$=$lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$，
当a＞1时，∵y=ax为增函数，∴$0＜{a}^{{x}_{1}}+1＜{a}^{{x}_{2}}+1$，即0＜$\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}＜1$，
又y=logax也为增函数，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{2}-log\frac{{a}^{{x}_{2}}+1}{2}$=$lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=loga$\frac{{a}^{x}+1}{2}$（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．
点评 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查了简单的复合函数的单调性，是中档题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
在棱锥A-BCDE中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1．
4．椭圆x2+$\frac{y^2}{4}$=1的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
1．已知定点M（0，4），动点P在圆x2+y2=4上，则$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{OP}$的取值范围是（ ）
| A． | [-4，12] | B． | [-12，4] | C． | [-2，14] | D． | [-14，2] |
8．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}（x+1）}{x+1}$是（ ）
| A． | 奇函数 | B． | 偶函数 | ||
| C． | 既是奇函数又是偶函数 | D． | 非奇非偶函数 |
18．掷骰子2次，每个结果以（x，y）记之，其中x1，x2分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设A{（x1，x2）|x1+x2=8}，B={（x1，x2）|x1＞x2}，则P（B|A）（ ）
| A． | $\frac{1}{8}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
绵阳二诊后，某学校随机抽査部分学生的政治成绩进行统计分析，己知统计出的成绩频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），己知低于60 分的人数是6人．