已知矩形ABCD的长AB=4.宽AD=3.将其沿对角线BD折起.得到四面体A-BCD.如图所示.给出下列结论:①四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{72}{5}$,②四面体A-BCD外接球的表面积恒为定值,③若E.F分别为棱AC.BD的中点.则恒有EF⊥AC且EF⊥BD,④当二面角A-BD-C为直二面角时.直线AB.CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$,⑤当二面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A-BCD，如图所示，给出下列结论：
①四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{72}{5}$；
②四面体A-BCD外接球的表面积恒为定值；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$；
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为$\frac{14}{5}$．
其中正确的结论有②③④（请写出所有正确结论的序号）．

分析将矩形折叠后得到三棱锥，①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高计算；
②求出三棱锥的外接球半径，计算表面积；
③连接AF，CF则AF=CF，连接DE，BE，得到DE=BE，利用等腰三角形的三线合一可得；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答；
⑤找到二面角的平面角计算即可．

解答解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故不正确；
②三棱锥A-BCD外接球的半径为$\frac{5}{2}$，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4$π×\frac{25}{4}$=25π；②正确；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$，所以④正确．
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为$\frac{14}{5}$，在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=$\frac{12}{5}$，DE=BF=$\frac{9}{5}$，
同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
则AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
则AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$，故⑤错误；
故答案为：②③④．

点评本题考查了平面与立体几何的关系，考查了三棱锥中线线关系，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，较综合，属于中档题．