Question

16．过抛物线C：y²=4x上一点P（异于坐标原点O）作直线PA，交抛物线C于点A．
（1）若直线PA过抛物线C的焦点，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OP}$的值；
（2）过点P作直线PA的倾斜角互补的直线PB，交抛物线C于点B，设直线AB的斜率k₁，抛物线C在点P处的切线斜率为k₂，是否存在常数λ，使得k₁=λk₂？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
（3）设直线PA过定点（1，0），过点A作与抛物线C在点P处的切线平行的直线l，交抛物线C于点Q，求△APQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），通过联立直线PA与抛物线方程，计算即得结论；
（2）通过分PA、PB的斜率存在与不存在两种情况讨论，利用根的判别式为0计算即得结论；
（3）通过联立直线AQ与抛物线方程，利用两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），则直线PA的方程为：x=my+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：y²-4my-4=0，
∴y₁y₀=-4，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OP}$=x₀x₁+y₁y₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{16}$+y₁y₀=1-4=-3；
（2）结论：存在常数λ=-1，使得k₁=λk₂．
理由如下：
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
当PA、PB的斜率存在时，由题可知：$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0，
即：$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$+$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=0，即：y₁+y₂+2y₀=0，
则k₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}={k}_{2}（x-{x}_{0}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：${y}^{2}-\frac{4}{{k}_{2}}y+\frac{4}{{y}_{0}}-4{x}_{0}=0$，
由△=0得：$\frac{16}{{{k}_{2}}^{2}}$-16（$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$-x₀）=0，
即$（{y}_{0}{k}_{2}-2）^{2}=0$，即k₂=$\frac{2}{{y}_{0}}$，则k₁=-k₂；
当PA、PB的斜率不存在时，显然满足k₁=-k₂；
故存在常数λ=-1，使得k₁=λk₂；
（3）直线AQ的方程为：y-y₁=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₁），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}=\frac{2}{{y}_{0}}（x-{x}_{1}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：y²-2y₀y-4x₁-8=0，
|AQ|=$\sqrt{1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+4（4{x}_{1}+8）}$=$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$•$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+8}$=$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$•|y₀-y₁|，
点P到直线AQ的距离d=$\frac{|\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}-{y}_{0}-\frac{2{x}_{1}}{{y}_{0}}+{y}_{1}|}{\sqrt{1+\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}}}$=$\frac{|2{x}_{0}-{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{1}-4|}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{|{y}_{0}-{y}_{1}{|}^{2}}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$•|y₀-y₁|•$\frac{|{y}_{0}-{y}_{1}{|}^{2}}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$|{y}_{0}-{y}_{1}{|}^{3}$=$\frac{1}{4}$•$|{y}_{0}+\frac{1}{{y}_{0}}{|}^{3}$≥$\frac{1}{4}$•4³=16，
当且仅当y₀=±2时取等号，故△APQ面积的最小值为16．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查韦达定理、向量数量积运算、两点间距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．