题目内容

2.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的一个焦点和抛物线y2=4$\sqrt{6}$x的焦点相同,过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若与直线l1:x-2y+t=0相垂直的直线l与椭圆C交于B、D两点,求△OBD的最大值.

分析 (Ⅰ)通过抛物线y2=4$\sqrt{6}$x的焦点可得椭圆的焦点,利用过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2,计算即得结论;
(Ⅱ)通过设直线l方程并与椭圆方程联立,利用点到直线的距离、两点间距离公式、三角形面积公式、配方法计算即得结论.

解答 解:(Ⅰ)∵抛物线y2=4$\sqrt{6}$x的焦点为($\sqrt{6}$,0),
∴a2-b2=6,即($\sqrt{6}$,0)为椭圆C的右焦点,
又∵过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2,
∴点($\sqrt{6}$,1)在椭圆C上,即$\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$,
∴a2=9,b2=3,
∴椭圆C的方程为:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(Ⅱ)∵直线l与直线l1:x-2y+t=0相垂直,
∴可设直线l方程为:2x+y+m=0,
则点O到直线l的距离d=$\frac{|0+0+m|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$•|m|,
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,消去y可得:13x2+12mx+3m2-9=0,
∵△=144m2-4×13×(3m2-9)=12×(117-m2)>0,
∴m2<117,即-3$\sqrt{13}$<m<3$\sqrt{13}$,
设B(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=-$\frac{12}{13}$m,x1•x2=$\frac{3{m}^{2}-9}{13}$,
∴|BD|=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({y}_{1}-{y}_{2})^{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{(-\frac{12}{13}m)^{2}-4•\frac{3{m}^{2}-9}{13}}$
=$\frac{2\sqrt{15}}{13}$•$\sqrt{39-{m}^{2}}$,
∴S△OBD=$\frac{1}{2}•d•|BD|$=$\frac{\sqrt{3}}{13}$•$\sqrt{39{m}^{2}-{m}^{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{13}$•$\sqrt{-({m}^{2}-\frac{39}{2})^{2}+(\frac{39}{2})^{2}}$,
∵m2<117,∴当m2=117时,S△OBD最大,最大值为:$\frac{\sqrt{13}}{13}•\frac{39}{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$.

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查点到直线的距离公式、两点间距离公式公式、三角形面积公式、配方法等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

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