题目内容
【题目】已知非空集合是由一些函数组成,满足如下性质:①对任意
,
均存在反函数
,且
;②对任意
,方程
均有解;③对任意
、
,若函数
为定义在
上的一次函数,则
.
(1)若,
,均在集合
中,求证:函数
;
(2)若函数(
)在集合
中,求实数
的取值范围;
(3)若集合中的函数均为定义在
上的一次函数,求证:存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
【答案】(1)见详解;(2);(3)见详解;
【解析】
(1)由,根据性质①可得
,且存在
,使得
,由
,且为一次函数,根据性质③即可证明.
(2)由性质②,方程,即
在
上有解,可得
,
变形,
.对
与
的关系分类讨论,利用基本不等式的性质即可求解.
(3)任取,
,由性质①
,不妨设
,
(若,则
,
),
由性质③函数,
由性质①:,
由性质③:
由性质②方程:,可得
,即
,即可得证.
(1)由,根据性质①可得
,且存在
,使得
,由
,且为一次函数,
根据性质③可得:.
(2)由性质②,方程,即
在
上有解,
,
由,
若,
时,
,且
,
此时
没有反函数,即不满足性质①.
若,
时,函数
在
上单调递增,
此时
有反函数,
即满足性质①.
综上:.
(3)任取,
,由性质①
,不妨设
,
(若,则
,
),
由性质③函数,
由性质①:,
由性质③:
由性质②方程:,
,即
,
,可得
,
,
,可得
,
,
由此可知:对于任意两个函数,
,
存在相同的满足:
,
存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
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