题目内容
【题目】已知
是定义在
上的函数，如果存在常数
，对区间的任意划分：
，和式
恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：
。
（1）证明函数
在
上是“绝对差有界函数”。
（2）证明函数
不是
上的“绝对差有界函数”。
（3）记集合
存在常数
，对任意的
，有
成立
，证明集合
中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断
是否在集合中，如果在，请证明并求
的最小值；如果不在，请说明理由。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，
的最小值为
.
【解析】
（1）首先化简函数
，并且函数在区间
上为单调递增函数，由定义可知任意划分区间
，根据定义求
；
（2）取区间
的一个划分：
，代入则有
，由此根据定义判断是否存在；
（3）利用不等式的传递性证明
，
，利用和差化积公式化简证明求的最小值.
解：（1）因为在区间上为单调递增函数，
所以当
时，有
，
所以。
从而对区间的任意划分：
，存在
，
成立。
综上，函数
在上是“绝对差有界函数”。
（2）取区间的一个划分：，
则有：
所以对任意常数
，只要
足够大，就有区间的一个划分：
满足
。
（3）证明：任取
，存在常数
有
成立。从而对区间
的任意划分：
，和式成立。取
，所以集合
中的任意函数
为“绝对差有界函数”。
因为
，所以对任意的
有
，
所以的最小值为。
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